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如图,在平面直角坐标系中,坐标原点为O,A点坐标为(4,0),B点坐标为(-1,...

manfen5.com 满分网如图,在平面直角坐标系中,坐标原点为O,A点坐标为(4,0),B点坐标为(-1,0),以AB的中点P为圆心,AB为直径作⊙P的正半轴交于点C.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式;
(2)设M为(1)中抛物线的顶点,求直线MC对应的函数解析式;
(3)试说明直线MC与⊙P的位置关系,并证明你的结论.
(1)求出半径,根据勾股定理求出C的坐标,设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a(x-4)(x+1),把C(0,2)代入求出a即可; (2)求出M的坐标,设直线MC对应函数表达式是y=kx+b,把C(0,2),M(,)代入得到方程组,求出方程组的解即可; (3)根据点的坐标和勾股定理分别求出PC、DC、PD的平方,根据勾股定理的逆定理得出∠PCD=90°,即可求出答案. 【解析】 (1)∵A(4,0),B(-1,0), ∴AB=5,半径是PC=PB=PA=, ∴OP=-1=, 在△CPO中,由勾股定理得:OC==2, ∴C(0,2), 设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a(x-4)(x+1), 把C(0,2)代入得:2=a(0-4)(0+1), ∴a=-, ∴y=-(x-4)(x+1)=-x2+x+2, 答:经过A、B、C三点抛物线解析式是y=-x2+x+2. (2)y=-x2+x+2=-+, M(,), 设直线MC对应函数表达式是y=kx+b, 把C(0,2),M(,)代入得:, 解得:k=,b=2, ∴y=x+2, y=x+2. 答:直线MC对应函数表达式是y=x+2. (3)MC与⊙P的位置关系是相切. 证明:设直线MC交x轴于D, 当y=0时,0=x+2, ∴x=-,OD=, ∴D(-,0), 在△COD中,由勾股定理得:CD2=22+==, PC2===, PD2==, ∴CD2+PC2=PD2, ∴∠PCD=90°, ∴PC⊥DC, ∵PC为半径, ∴MC与⊙P的位置关系是相切.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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