Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x-m）²-m²+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．
（1）当m=2时，求点B的坐标；
（2）求DE的长？
（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

Answer

（1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标；
（2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；
（3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=-m2+m+4，将m=代入y=-m2+m+4，即可求出二次函数的表达式；
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答．
【解析】
（1）当m=2时，y=（x-2）2+1，
把x=0代入y=（x-2）2+1，得：y=2，
∴点B的坐标为（0，2）．

（2）延长EA，交y轴于点F，
∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，
∴△AFC≌△AED，
∴AF=AE，
∵点A（m，-m2+m），点B（0，m），
∴AF=AE=|m|，BF=m-（-m2+m）=m2，
∵∠ABF=90°-∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，
∴△ABF∽△DAE，
∴=，即：=，
∴DE=4．

（3）①∵点A的坐标为（m，-m2+m），
∴点D的坐标为（2m，-m2+m+4），
∴x=2m，y=-m2+m+4，
∴y=-•++4，
∴所求函数的解析式为：y=-x2+x+4，
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，

（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），
点P的横坐标为3m，
点P的纵坐标为：（-m2+m+4）-（m2）=-m2+m+4，
把P（3m，-m2+m+4）的坐标代入y=-x2+x+4得：
-m2+m+4=-×（3m）2+×（3m）+4，
解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．
（Ⅱ）当四边形ABPD为平行四边形时（如图2），
点P的横坐标为m，
点P的纵坐标为：（-m2+m+4）+（m2）=m+4，
把P（m，m+4）的坐标代入y=-x2+x+4得：
m+4=-m2+m+4，
解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=-8，
综上所述：m的值为8或-8．