Question

在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．
（1）若α=60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且
PQ=QD，请直接写出α的范围．

Answer

（1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出△CMQ是等边三角形，即可得出答案；
（2）首先利用已知得出△APD≌△CPD，进而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°，即可求出；
（3）由（2）得出∠CDB=90°-α，且PQ=QD，进而得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，得出α的取值范围即可．
【解析】
（1）∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，AM=MC，
∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，
∴AM=MQ，∠AMQ=120°，
∴CM=MQ，∠CMQ=60°，
∴△CMQ是等边三角形，
∴∠ACQ=60°，
∴∠CDB=30°；

（2）如图2，连接PC，AD，
∵AB=BC，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，
即BD为AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AP=PC，PD=PD，
在△APD与△CPD中，
∵，
∴△APD≌△CPD（SSS），
∴∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，
又∵PQ=PA，
∴PQ=PC，∠ADC=2∠1，∠4=∠PCQ=∠PAD，
∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°，
∴∠APQ+∠ADC=360°-（∠PAD+∠PQD）=180°，
∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α，
∴2∠CDB=180°-2α，
∴∠CDB=90°-α；

（3）如图1，延长BM，CQ交于点D，连接AD，
∵∠CDB=90°-α，且PQ=QD，
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，
∵点P不与点B，M重合，
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
∵点P在线段BM上运动，∠PAD最大为2α，∠PAD最小等于α”，
∴2α＞180°-2α＞α，
∴45°＜α＜60°．