Question

探究：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，E为AD的中点，若EF∥AB．求证：BF=CF

知识应用：如图，坐标平面内有两个点A和B其中点A的坐标为（x₁，y₁），点B的坐标为（x₂，y₂），求AB的中点C的坐标．

知识拓展：在上图中，点A的坐标为（4，5），点B的坐标为（-6，-1），分别在x轴和y轴上找一点C和D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求出点C和点D的坐标．

Answer

【探究】：过点F作GH∥AD，交AB于H，交DC的延长线于点G，求证△CFG≌△BFH即可；
【知识应用】：分别过A、B、C、三点作x轴的垂线，由A、B的坐标，进而即可求解点C的坐标；
【知识拓展】：由于点C、D的位置不确定，也即AB可能是平行四边形的边长，亦有可能是其对角线，所以应分几种情况：
即①当AB是平行四边形一条边，且点C在x轴的正半轴时，则AD与BC互相平分；
②当AB是平行四边形一条边，且点C在x轴的负半轴时，又是一种情况；
③当AB是对角线时，所以应分开来分别求解．
【探究】证明：过点F作GH∥AD，交AB于H，交DC的延长线于点G，

∵AH∥EF∥DG，AD∥GH，
∴四边形AHFE和四边形DEFG都是平行四边形，
∴FH=AE，FG=DE，
∵AE=DE，
∴FG=FH，
∵AB∥DG，
∴∠G=∠FHB，∠GCF=∠B，
∴△CFG≌△BFH，
∴FC=FB；

【知识应用】过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，过点B作BP⊥x轴于点P，

则点P的坐标为（x2，0），点N的坐标为（x1，0），
由探究的结论可知，MN=MP，
∴点M的坐标为（，0），
∴点C的横坐标为，
同理可求点C的纵坐标为，
∴点C的坐标为（，）．

【知识拓展】
①当AB是平行四边形一条边，且点C在x轴的正半轴时，AD与BC互相平分，
设点C的坐标为（a，0），点D的坐标为（0，y）
由上面的结论可知：-6+a=4+0，-1+0=5+b，
∴a=10，b=-6，
∴此时点C的坐标为（10，0），点D的坐标为（0，-6），
②同理，当AB是平行四边形一条边，且点C在x轴的负半轴时，求得点C的坐标为（-10，0），点D的坐标为（0，6），
③当AB是对角线时点C的坐标为（-2，0），点D的坐标为（0，4）．