Question

如图1，四边形ABCD是矩形，P是BC边上的一点，连接PA、PD
（1）求证：PA²+PC²=PB²+PD²
（2）如图2，当点A在矩形ABCD的内部时，连接PA、PB、PC、PD．上面的结论是否还成立？说明理由．
（3）当点A在矩形ABCD的外部时，连接PA、PB、PC、PD．上面的结论是否还成立？（不必说明理由）

Answer

（1）根据PA2-PB2=AB2=CD2=PD2-PC2，移项即可；
（2）过点P作AD的垂线，交AD于点E，交BC于点F，可证四边形ABFE和CDEF为矩形，则AE=BF，DE=CF，在△PAE，△PCF，△PBF，△PCF中，分别求PA2，PC2，PB2，PD2，再比较PA2+PC2与PB2+PD2即可；
（3）画出图形，把问题转化到直角三角形中，由勾股定理分别求PA2，PC2，PB2，PD2．
（1）证明：在Rt△ABP中，由勾股定理，得PA2-PB2=AB2，
同理可得PD2-PC2=CD2，
由矩形的性质可得AB=CD，
∴PA2-PB2=PD2-PC2，
∴PA2+PC2=PB2+PD2．

（2）成立．
过点P作AD的垂线，交AD于点E，交BC于点F，
则四边形ABFE和CDEF为矩形，
∴AE=BF，DE=CF，
由勾股定理得：
则AP2=AE2+PE2，PC2=PF2+CF2，
BP2=BF2+PF2，PD2=DE2+PE2，
∴PA2+PC2=AE2+PE2+PF2+CF2，
PB2+PD2=BF2+PF2+DE2+PE2，
∴PA2+PC2=PB2+PD2．

（3）成立．如图，由勾股定理可证PA2+PC2=PB2+PD2．