Question

如图，A（2，1）是矩形OCBD的对角线OB上的一点，点E在BC上，双曲线y=经过点A，交BC于点E，交BD于点F，若CE=
（1）求双曲线的解析式；
（2）求点F的坐标；
（3）连接EF、DC，直线EF与直线DC是否一定平行？（只答“一定”或“不一定”）

Answer

（1）把A（2，1）代入双曲线y=即可求出k的值，进而求出其解析式；
（2）设直线OB的解析式为y=ax，再把A点的坐标代入即可求出直线OB的解析式，由CE=可设出E点的坐标，代入双曲线的解析式即可求出E点的坐标；再把E点的横坐标代入直线OB的解析式即可求出F点的坐标；
（3）连接EF、CD，由B、E、F的坐标可求出C、D两点的坐标，利用两点间的距离公式可求出BF、BD、BE、BC的长度，根据=即可得出EF∥CD．
【解析】
（1）∵双曲线y=经过点A（2，1），
∴1=，
∴k=2，
∴双曲线的解析式为y=；

（2）设直线OB的解析式为y=ax，
∵直线y=ax经过点A（2，1），
∴a=，
∴直线的解析式为y=x，
∵CE=，代入双曲线解析式得到点E的坐标为（3，），
∴点B的横坐标为3，
代入直线解析式，得到点B的坐标为（3，），
∴点F的纵坐标为，
代入双曲线的解析式，得到点F的坐标为（，）；

（3）连接EF、CD，
∵B的坐标为（3，），E的坐标为（3，），F的坐标为（，）；
∴C点坐标为（3，0），D点坐标为（0，），
∴BF==，BD==3，BE==，BC==，
∴==，==，=，
∴EF∥CD．
一定．