Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）
（1）若△CEF与△ABC相似．
①当AC=BC=2时，AD的长为______

Answer

（1）若△CEF与△ABC相似．
①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形；
②当AC=3，BC=4时，分两种情况：
（I）若CE：CF=3：4，如答图2所示，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；
（II）若CF：CE=3：4，如答图3所示．由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A=∠ECD与∠B=∠FCD，从而得到CD=AD=BD，即D点为AB的中点；
（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，从而可以证明两个三角形相似．
【解析】
（1）若△CEF与△ABC相似．
①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示．

此时D为AB边中点，AD=AC=；

②当AC=3，BC=4时，有两种情况：
（I）若CE：CF=3：4，如答图2所示．

∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥AB．
由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴cosA=．
AD=AC•cosA=3×=1.8；

（II）若CF：CE=3：4，如答图3所示．

∵△CEF∽△CAB，∴∠CEF=∠B．
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．
同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，
∴此时AD=AB=×5=2.5．
综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为1.8或2.5．

（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由如下：
如答图3所示，连接CD，与EF交于点Q．
∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B．
由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，∴∠DCB+∠CFE=90°，
∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A，
又∵∠C=∠C，∴△CEF∽△CBA．