Question

如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．
（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由于抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可以求出点D的坐标；
（3）分两种情况讨论，①△AMP∽△BOC，②PMA∽△BOC，根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
将点A（-2，0），B（-3，3），O（0，0），代入可得：，
解得：．
故函数解析式为：y=x2+2x．

（2）当AO为平行四边形的边时，DE∥AO，DE=AO，由A（-2，0）知：DE=AO=2，
若D在对称轴直线x=-1左侧，
则D横坐标为-3，代入抛物线解析式得D1（-3，3），
若D在对称轴直线x=-1右侧，
则D横坐标为1，代入抛物线解析式得D2（1，3）．
综上可得点D的坐标为：（-3，3）或（1，3）．

（3）存在．
如图：∵B（-3，3），C（-1，-1），
根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，
∵BO2+CO2=BC2，
∴△BOC是直角三角形，
假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，
设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，
①若△AMP∽△BOC，则=，
即x+2=3（x2+2x），
得：x1=，x2=-2（舍去）．
当x=时，y=，即P（，），
②若△PMA∽△BOC，则=，
即：x2+2x=3（x+2），
得：x1=3，x2=-2（舍去）
当x=3时，y=15，即P（3，15）．
故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）．