Question

在矩形纸片ABCD中，AD=12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕．
（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长；
（2）①如图2，DP=AD，CQ=BC，点D的对应点F在PQ上，求AE的长；
②如图3，DP=AD，CQ=BC，点D的对应点F在PQ上．直接写出AE的长（用含n的代数式表示）．

Answer

（1）首先由在矩形纸片ABCD中，P，Q分别为AD，BC的中点，易得四边形ABQP是矩形，又由AP=AD=AF，可得∠AFP=30°，∠PAF=60°，即可求得PF的长，由折叠的性质，易求得∠DAE=30°，即可求得AE的长；
（2）①由勾股定理，易求得PF的长；然后作FG⊥CD于点G，易证得△AFP∽△EFG，然后利用相似三角形的对应边成比例，求得DE的长，由勾股定理，即可求得AE的长；
②由勾股定理，易求得PF的长；然后作FG⊥CD于点G，易证得△AFP∽△EFG，然后利用相似三角形的对应边成比例，求得DE的长，由勾股定理，即可求得AE的长．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠DAB=90°，
∵PQ是矩形ABCD中AD，BC的中点，
∴AP=AD，BQ=BC，
∴AP=BQ，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∴平行四边形ABQP是矩形，
∴∠APQ=90°，
由折叠的性质可得：AF=AD，
∴AP=AD=AF=6（cm），∠APF=90°，
∴∠AFP=30°，
∴PF=AP=6（cm），
∴∠FAD=60°，
∴∠DAE=∠FAD=30°，
∴AE==8（cm）；

（2）①∵DP=AD=4（cm），
∴AP=AD=8（cm），
∴FP===4（cm），
作FG⊥CD于点G，
∵∠AFE=90°，
∴∠AFP=∠EFG，
∴△AFP∽△EFG，
∴，
∵GF=DP=4cm，
∴DE=EF=（cm），
∴AE==（cm）；

②∵DP=AD=（cm），
∴AP=cm，
∴FP==（cm），
作FG⊥CD于点G，
∵∠AFE=90°，
∴∠AFP=∠EFG，
∴△AFP∽△EFG，
∴，
∴DE=EF=cm，
∴AE==（cm）．