Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（-1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；
（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．

Answer

（1）已知点A、B坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）关键是证明△EDF∽△DAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解；
（3）如解答图，通过作辅助线构造一对全等三角形：△GCA≌△OAC，得到CG、AG的长度；然后利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在Rt△ECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值．
【解析】
（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（-1，0），
∴，解得，
∴这个二次函数的解析式为：y=-2x2+6x+8；

（2）∵∠EFD=∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，
∴∠DEF=∠ODA
∴△EDF∽△DAO
∴．
∵，
∴=，
∴，
∴EF=t．
同理，
∴DF=2，
∴OF=t-2．

（3）∵抛物线的解析式为：y=-2x2+6x+8，
∴C（0，8），OC=8．
如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．
∵∠ECA=∠OAC，
在△GCA与△OAC中，
，
∴△GCA≌△OAC，
∴CG=4，AG=OC=8．
如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，
∴EM=OF=t-2，AM=OA+OM=OA+EF=4+t，
由勾股定理得：
∵AE2=AM2+EM2=；
在Rt△AEG中，由勾股定理得：
∴EG===
∵在Rt△ECF中，EF=t，CF=OC-OF=OC-EM=8-（t-2）=10-t，CE=CG+EG=+4
由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，
即，
解得t1=10，t2=6，
∵当t=10时，CF=10-10=0，
∴不合题意舍去，
∴t=6．