Question

等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）．

（1）求证：AM=AN；
（2）设BP=x．
①若BM=，求x的值；
②求四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式以及S的最小值；
③连接DE分别与边AB、AC交于点G、H（如图2）．当x为何值时，∠BAD=15°？此时，以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由．

Answer

（1）由已知条件可以得出AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，从而得出∠DAM=∠PAN，可以得出△ADM≌△APN，就可以得出结论．
（2）①由已知条件可以得出△BPM∽△CAP，可以得出，由已知条件可以建立方程求出BP的值．
②四边形AMPN的面积就是四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积，由△ADM≌△APN，S△ADM=S△APN，可以得出重合部分的面积就是△ADP的面积．
③连接PG，若∠DAB=15°，由∠DAP=60°可以得出∠PAG=45°．由已知条件可以得出四边形ADPE是菱形，就有DO垂直平分AP，得到GP=AG，就有∠PAG=∠APG=45°，得出∠PGA=90°，设BG=t，在Rt△BPG中∠APG=60°，就可以求出BP=2t，PG=t，从而求得t的值，即可以求出结论．以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形为直角三角形，由已知条件可知四边形ADPE为菱形，可以得到∠ADO=∠AEH=30°，根据∠DAB=15°，可以求出∠AGO=45°，∠HAO=15°，∠EAH=45°．设AO=a，则AD=AE=2a，OD=a，得到DG=（-1）a，由∠DAB=15°，可以求出∠DHA=∠DAH=75°，求得GH=（3-）a，HE=2（-1）a，最后由勾股定理的逆定理就可以得出结论．
【解析】
（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE是等边三角形，
∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，
∴∠DAM=∠PAN．
在△ADM和△APN中，
∵，

∴△ADM≌△APN，
∴AM=AN．

（2）①∵△ABC、△ADP是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠DAP=∠BAC=60°，
∴∠DAM=∠PAC，
∵∠ADM=∠B，∠DMA=∠BMP，
∴180-∠ADM-∠DMA=180-∠B-∠BMP，
∴∠DAM=∠BPM，
∴∠BPM=∠NAP，
∴△BPM∽△CAP，
∴，
∵BM=，AC=2，CP=2-x，
∴4x2-8x+3=0，
解得x1=，x2=．
②∵四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积．
∵△ADM≌△APN，
∴S△ADM=S△APN，
∴S四边形AMPN=S△APM+S△APN=S△AMP+S△ADM=S△ADP．
过点P作PS⊥AB，垂足为S，
在Rt△BPS中，∵∠B=60°，BP=x，
PS=BPsin60°=x，BS=BPcos60°=x，
∵AB=2，
∴AS=AB-BS=2-x，
∴AP2=AS2+PS2==x2-2x+4．
取AP的中点T，连接DT，在等边三角形ADP中，DT⊥AP，
∴S△ADP=AP．DT=AP×=，
∴S=S四边形AMPN=S△ADP==（0＜x＜2），
∴当x=1时，S的最小值是．
③连接PG，若∠DAB=15°，
∵∠DAP=60°，
∴∠PAG=45°．
∵△APD和△APE是等边三角形，
∴四边形ADPE是菱形，
∴DO垂直平分AP，
∴GP=AG，
∴∠PAG=∠APG=45°，
∴∠PGA=90°．
设BG=t，在Rt△BPG中，∠ABP=60°，
∴BP=2t，PG=t，
∴AG=PG=t，
∴t+t=2，
解得t=-1，
∴BP=2t=2-2．
∴当BP=2-2时，∠BAD=15°．
猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形为直角三角形．
设DE交AP于点O，
∵△APD和△APE是等边三角形，
∴AD=DP=AP=PE=EA，
∴四边形ADPE为菱形，
∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=30°．
∵∠DAB=15°，
∴∠GAO=45°，
∴∠AGO=45°，∠HAO=15°，
∴∠EAH=45°．
设AO=a，则AD=AE=2a，GO=AO=a，OD=a．
∴DG=DO-GO=（-1）a．
∵∠DAB=15°，∠BAC=60°，∠ADO=30°，
∴∠DHA=∠DAH=75°．
∴DH=AD=2a，
∴GH=DH-DG=2a-（-1）a=（3-）a．
HE=DE-DH=2DO-DH=2a-2a．
∵DG2+GH2=，
HE2==．
∴DG2+GH2=HE2，
∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形为直角三角形．