Question

直线y=-x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
（3）当S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．

Answer

（1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；
（2）因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，
当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得，利用S=OQ×PD，即可求出答案；
（3）令S=，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．
【解析】
（1）y=0，x=0，求得A（8，0），B（0，6），

（2）∵OA=8，OB=6，
∴AB=10．
∵点Q由O到A的时间是（秒），
∴点P的速度是=2（单位长度/秒）．
当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时，
OQ=t，OP=2t，S=t2．
当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，
OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，
如图，过点P作PD⊥OA于点D，
由，得PD=．
∴S=OQ•PD=-．

（3）当S=时，∵，∴点P在AB上
当S=时，-=
∴t=4
∴PD==，AP=16-2×4=8
AD==
∴OD=8-=
∴P（，）
M1（，），M2（-，），M3（，-）