Question

如图，若E、F分别是AD、AB上的点，且AE=AF．过点A作AM⊥BE，交对角线BD于M，过点M作MG⊥DF，交AD于N，交BE的延长线于G．探究BG、AM、MG之间的数量关系并证明．

Answer

连接MC，首先根据题干条件结合正方形的性质证明△ABM≌△CBM，得出AM=CM，∠AMB=∠CMB，∠MCB=∠MAB，再证明△ABE≌△ADF，得到∠ABE=∠ADF，结合AM⊥BE，MG⊥DF，得到∠DMG=∠AMB=∠CMB，于是可以证明C，M，G三点在同一直线上，综合以上条件可以证明结论．
答：BG，AM，MG之间的数量关系是：BG=AM+MG．
证明：连结MC．
∵ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠ADB=∠ABD=∠CBD=45°，
∵在△ABM与△CBM中，
，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴AM=CM，∠AMB=∠CMB，∠MCB=∠MAB，
∵在△ABE与△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠ABE=∠ADF，
又∵∠ABD=∠ADB=45度，
∴∠EBD=∠FDB，
∵AM⊥BE，MG⊥DF，
∴∠EBD+∠AMB=∠FDB+∠DMG=90°，
∴∠DMG=∠AMB=∠CMB，
∴C，M，G三点在同一直线上，
∴CG=CM+MG，
∵∠MAB+∠ABE=∠GBC+∠ABE=90°，
∴∠MAB=∠GBC，
∵∠MAB=∠MCB
∴∠GBC=∠MCB，
∴BG=CG=CM+MG．