Question

阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点P的坐标为（x_p，y_p）．由x_p-x₁=x₂-x_p，得x_p=，同理，所以AB的中点坐标为．由勾股定理得AB²=，所以A、B两点间的距离公式为．
注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．
解答下列问题：
如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x²交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．
（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；
（2）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；
（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．

Answer

（1）根据y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，直接联立求出交点坐标，进而得出C点坐标即可；
（2）利用两点间距离公式得出AB的长，进而得出PC=PA=PB，求出∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°即可得出答案；
（3）点C作CG⊥AB于G，过点A作AH⊥PC于H，利用A，C点坐标得出H点坐标，进而得出CG=AH，求出即可．
（1）【解析】
由，
解得：，．
则A，B两点的坐标分别为：A（，3-），B（，3+），
∵P是A，B的中点，由中点坐标公式得P点坐标为（，3），
又∵PC⊥x轴交抛物线于C点，将x=代入y=2x2中得y=，
∴C点坐标为（，）．

（2）证明：由两点间距离公式得：
AB==5，PC=|3-|=，
∴PC=PA=PB，
∴∠PAC=∠PCA，∠PBC=∠PCB，
∴∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°，
∴△ABC为直角三角形．

（3）【解析】
过点C作CG⊥AB于G，过点A作AH⊥PC于H，
则H点的坐标为（，3-），
∴S△PAC=AP•CG=PC•AH，
∴CG=AH=|-|=．
又直线l与l′之间的距离等于点C到l的距离CG，
∴直线l与l′之间的距离为．