Question

已知二次函数y₁=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，-）．
（Ⅰ）求二次函数的解析式；
（Ⅱ）若（Ⅰ）中的二次函数，当x取a，b（a≠b）时函数值相等，求x取a+b时的函数值；
（Ⅲ）若反比例函数y₂=（k＞0，x＞0）的图象与（Ⅰ）中的二次函数的图象在第一象限内的交点为A，点A的横坐标为x满足2＜x＜3，试求实数k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）直接利用待定系数法求函数的解析式即可．
（Ⅱ）首先将x=a、b代入抛物线的解析式中，联立所得的两个方程即可求出a+b的值；再将x=a+b代入（Ⅰ）的抛物线解析式中即可求出此时的函数值．
（Ⅲ）首先大致画出y1、y2的函数图象，大致判断出2＜x＜3中，两函数的增减性；然后根据x=2或3时，两函数值的大小关系列出不等式组，由此求得k的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）设抛物线解析式为y=a（x-1）（x+3）
将（0，-）代入，解得a=．
∴抛物线解析式为y=x2+x-．

（Ⅱ）当x=a时，y1=a2+a-，当x=b时，y1=b2+b-，
∴a2+a-=b2+b-，
∴a2-b2+2（a-b）=0，即（a-b）（a+b+2）=0，
∵a≠b，∴a+b=-2．
∴y1=（a+b）2+（a+b）-=（-2）2-2-=-
即x取a+b时的函数值为．

（Ⅲ）当2＜x＜3时，函数y1=x2+x-，y1随着x增大而增大，对y2=（k＞0），y2随着X的增大而减小．
∵A（x，y）为二次函数图象与反比例函数图象的交点，
∴当x=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2＞y1，
即＞×22+2-，解得k＞5．
当x=3时，二次函数数图象在反比例上方得y1＞y2，
即×32+3-＞，解得k＜18．
所以k的取值范围为5＜k＜18．