Question

在Rt△ACB中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交与点D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
（2）若AD：AO=6：5，BC=3，求BD的长．

Answer

（1）连接OD，DE，求出∠ADE=90°=∠C推出DE∥BC∴∠EDB=∠CBD=∠A，根据∠A+∠OED=90°求出∠EDB+∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可；   
（2）求出AD：AE：DE=6：10：8，求出△ADE∽△BCD，推出AD：AE：DE=BC：BD：CD=6：10：8，代入求出即可．
（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切，
证明：连接OD，DE，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∵∠A=∠CBD，
∴∠A+∠CDB=90°，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ADO，
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=180°-90°=90°，
∴OD⊥BD，
∵OD为半径，
∴BD是⊙O切线；

（2）【解析】
∵AD：AO=6：5，
∴AD：AE=6：10，
∴AD：AE：DE=6：10：8，
∵AE是直径，
∴∠ADE=∠C=90°，
∵∠CBD=∠A，
∴△ADE∽△BCD，
∴AD：AE：DE=BC：BD：CD=6：10：8，
即BC：BD=6：10，
∵BC=3，
∴BD=5．