Question

已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．
（2）求抛物线的对称轴与线段OB交点D的坐标．
（3）线段OB与抛物线交与点E，点P为线段OE上一动点（点P不与点O，点E重合），过P点作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：在线段OE上是否存在这样的点P，使得PD=CM？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）在Rt△AOB中，根据AO的长和∠BOA的度数，可求得OB的长，根据折叠的性质即可得到OA=OC，且∠BOC=∠BOA=30°，过C作CD⊥x轴于D，即可根据∠COD的度数和OC的长求得CD、OD的值，从而求出点C、A的坐标，将A、C、O的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）求出直线BO的解析式，进而利用x=求出y的值，即可得出D点坐标；
（3）根据（1）所得抛物线的解析式可得到其顶点的坐标（即C点），设直线MP与x轴的交点为N，且PN=t，在Rt△OPN中，根据∠PON的度数，易得PN、ON的长，即可得到点P的坐标，然后根据点P的横坐标和抛物线的解析式可求得M点的纵坐标，过M作MF⊥CD（即抛物线对称轴）于F，过P作PQ⊥CD于Q，若PD=CM，那么CF=QD，根据C、M、P、D四点纵坐标，易求得CF、QD的长，联立两式即可求出此时t的值，从而求得点P的坐标．
【解析】
（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H；
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=，
∴OB==4，AB=2；
由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2，
∴∠COH=60°，OH=，CH=3；
∴C点坐标为（，3）．
∵O点坐标为：（0，0），
∴抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），
∵图象经过C（，3）、A（2，0）两点，
∴，
解得；
∴此抛物线的函数关系式为：y=-x2+2x．

（2）∵AO=2，AB=2，
∴B点坐标为：（2，2），
∴设直线BO的解析式为：y=kx，
则2=2k，
解得：k=，
∴y=x，
∵y=-x2+2x的对称轴为直线x=-=-=，
∴将两函数联立得出：y=×=1，
∴抛物线的对称轴与线段OB交点D的坐标为：（，1）；

（3）存在．
∵y=-x2+2x的顶点坐标为（，3），
即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t；
∵∠BOA=30°，
∴ON=t，
∴P（t，t）；
作PQ⊥CD，垂足为Q，MF⊥CD，垂足为F；
把x=t代入y=-x2+2x，
得y=-3t2+6t，
∴M（t，-3t2+6t），F（，-3t2+6t），
同理：Q（，t），D（，1）；
要使PD=CM，只需CF=QD，
即3-（-3t2+6t）=|t-1|，
解得t=，t=1（舍），t=，
∴P点坐标为（，），或（，），
∴存在满足条件的P点，使得PD=CM，此时P点坐标为（，）或（，）．