Question

如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°．
（1）先作∠ACB的平分线；设它交AB边于点O，再以点O为圆心，OB为半径作⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）证明：AC是所作⊙O的切线；
（3）若BC=，sinA=，求△AOC的面积．

Answer

（1）根据角平分线的作法求出角平分线FC，进而得出⊙O；
（2）根据切线的判定定理求出EO=BO，即可得出答案；
（3）根据锐角三角函数的关系求出AC，EO的长，即可得出答案．
（1）【解析】
如图所示：

（2）证明：过点O作OE⊥AC于点E，
∵FC平分∠ACB，
∴OB=OE，
∴AC是所作⊙O的切线；

（3）【解析】
∵sinA=，∠ABC=90°，
∴∠A=30°，
∴∠ACO=∠OCB=ACB=30°，
∵BC=，
∴AC=2，BO=tan30°BC=×=1，
∴△AOC的面积为：×AC×OE=×2×1=．