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已知:一元二次方程x2+kx+k-=0. (1)求证:不论k为何实数时,此方程总...

已知:一元二次方程manfen5.com 满分网x2+kx+k-manfen5.com 满分网=0.
(1)求证:不论k为何实数时,此方程总有两个实数根;
(2)设k<0,当二次函数y=manfen5.com 满分网x2+kx+k-manfen5.com 满分网的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时,求此二次函数的解析式;
(3)在(2)的条件下,若抛物线的顶点为C,过y轴上一点M(0,m)作y轴的垂线l,当m为何值时,直线l与△ABC的外接圆有公共点?
(1)根据一元二次方程的根的判别式△=b2-4ac的符号来判定已知方程的根的情况; (2)利用根与系数的关系(|xA-xB|==4)列出关于k的方程,通过解方程来求k的值; (3)根据直线与圆的位置的位置关系确定m的取值范围. (1)证明:∵△=k2-4××(k-)=k2-2k+1=(k-1)2≥0, ∴关于x的一元二次方程x2+kx+k-=0,不论k为何实数时,此方程总有两个实数根; (2)令y=0,则x2+kx+k-=0. ∵xA+xB=-2k,xA•xB=2k-1, ∴|xA-xB|===2|k-1|=4,即|k-1|=2, 解得k=3(不合题意,舍去),或k=-1. ∴此二次函数的解析式是y=x2-x-; (3)由(2)知,抛物线的解析式是y=x2-x-. 易求A(-1,0),B(3,0),C(1,-2), ∴AB=4,AC=2,BC=2. 显然AC2+BC2=AB2,得△ABC是等腰直角三角形.AB为斜边, ∴外接圆的直径为AB=4, ∴-2≤m≤2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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