Question

如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．
（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；
（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；
（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）根据切线的判定得出∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA进而求出即可；
（2）根据已知得出∠PNM+∠ONA=90°，进而得出∠PNO=180°-90°=90°即可得出答案；
（3）首先根据外角的性质得出∠AON=30°进而利用扇形面积公式得出即可．
（1）PN与⊙O相切．
证明：连接ON，
则∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．
∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO．
∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°．
即PN与⊙O相切．

（2）成立．
证明：连接ON，
则∠ONA=∠OAN，
∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．
在Rt△AOM中，
∴∠OMA+∠OAM=90°，
∴∠PNM+∠ONA=90°．
∴∠PNO=180°-90°=90°．
即PN与⊙O相切．

（3）【解析】
连接ON，由（2）可知∠ONP=90°．
∵∠AMO=15°，PM=PN，∴∠PNM=15°，∠OPN=30°，
∴∠PON=60°，∠AON=30°．
作NE⊥OD，垂足为点E，
则NE=ON•sin60°=1×=．
S阴影=S△AOC+S扇形AON-S△CON
=OC•OA+CO•NE
=×1×1+π-×1×
=+π-．