Question

为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

Answer

（1）把x=20代入y=-10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；
（2）由利润=销售价-成本价，得w=（x-10）（-10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（3）令-10x2+600x-5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．
【解析】
（1）当x=20时，y=-10x+500=-10×20+500=300，
300×（12-10）=300×2=600，
即政府这个月为他承担的总差价为600元．

（2）依题意得，w=（x-10）（-10x+500）
=-10x2+600x-5000
=-10（x-30）2+4000
∵a=-10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000．
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．

（3）由题意得：-10x2+600x-5000=3000，
解得：x1=20，x2=40．
∵a=-10＜0，抛物线开口向下，

∴结合图象可知：当20≤x≤40时，w≥3000．
又∵x≤25，
∴当20≤x≤25时，w≥3000．
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p=（12-10）×（-10x+500）
=-20x+1000．
∵k=-20＜0．
∴p随x的增大而减小，
∴当x=25时，p有最小值500．
即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．