Question

如图，以△ABC的各边为边，在BC的同侧分别作三个正五边形．它们分别是正五边形ABFKL、BCJIE、ACHGD，试探究：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（不需证明）
（3）四边形ADEF一定存在吗？为什么？

Answer

（1）首先根据正五边形的性质得出∠3=108°-∠2=∠1，进而得出△FBE≌△ABC得出EF=DA以及EF∥DA即可得出四边形ADEF的形状；
（2）当∠BAC=126°，且AC=AB（或AC=2ABcos36°）时，∠FAD=90°，AF=AD，即可得出答案；
（3）当∠BAC=36°时，点D、A、F在同一直线上，即可得出此时四边形不存在．
（1）【解析】
四边形ADEF是平行四边形；
理由：∵正五边形ABFKL、BCJIE，
∴BF=BA，BE=BC，
又∵∠3=108°-∠2=∠1；
在△FBE和△ABC中，

∴△FBE≌△ABC（SAS），
∴EF=AC，∠4=∠5，
∵正五边形ACHGD，
∴AC=DA，
∴EF=DA，
又∵∠FAD=360°-∠BAF-∠4-∠CAD=360°-36°-108°-∠4=216°-∠4；
∠EFA=∠5-∠AFB=∠5-36°；
∴∠FAD+∠EFA=216°-∠4+∠5-36°=180°，
∴EF∥DA，
∴四边形ADEF是平行四边形；

（2）当∠BAC=126°，且AC=AB（或AC=2ABcos36°）时，四边形ADEF是正方形；
理由：∵∠BAC=126°，∠BAF=36°，∠CAD=108°，
∴∠FAD=90°，
∵AF=2ABcos36°，AC=2ABcos36°，
∴AF=AC，
∴平行四边形ADEF是正方形；

（3）当∠BAC=36°时，点D、A、F在同一直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．
理由：∵∠BAC=36°，∠FAB=36°，∠CDA=108°
∴∠DAF=36°+36°+108°=180°，
∴点D、A、F在同一直线上，
∴以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．