Question

在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点．
（1）写出这个二次函数图象的对称轴；
（2）设这个二次函数图象的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AC、DE和DB，当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式．
[提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A（x₁，0）、B（x₂，0），那么它的表达式可表示为y=a（x-x₁）（x-x₂）]．

Answer

（1）根据二次函数对称性得出对称轴即可；
（2）首先求出C，D点坐标，进而得出CO的长，利用当△AOC与△DEB相似时，根据①假设∠OCA=∠EBD，②假设∠OCA=∠EDB，分别求出即可．
解；（1）∵二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=2；

（2）设二次函数的表达式为：y=a（x-1）（x-3）（a≠0），
当x=0时，y=3a，当x=2时，y=-a，
∴点C坐标为：（0，3a），顶点D坐标为：（2，-a），
∴OC=|3a|，
又∵A（1，0），E（2，0），
∴AO=1，EB=1，DE=|-a|=|a|，
当△AOC与△DEB相似时，
①假设∠OCA=∠EBD，
可得=，
即=，
∴a=或a=-，
②假设∠OCA=∠EDB，可得=，
∴=，此方程无解；，
综上所述，所得二次函数的表达式为：
y=x2-x+或y=-x2+x-．