Question

有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．
（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=______度；
（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；
（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．

Answer

（1）如题图2所示，由三角形的外角性质可得；
（2）如题图3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可；
（3）认真分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形的变化情况：
（I）当0≤x≤2时，如答图1所示；
（II）当2＜x≤6-时，如答图2所示；
（III）当6-＜x≤6时，如答图3所示．
【解析】
（1）如题图2所示，
∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=，
∴tan∠DFE==，∴∠DFE=60°，
∴∠EMC=∠FMB=∠DFE-∠ABC=60°-45°=15°；

（2）如题图3所示，当EF经过点C时，
FC====；

（3）在三角板DEF运动过程中，
（I）当0≤x≤2时，如答图1所示：

设DE交BC于点G．
过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．
又∵NF==MN，BN=NF+BF，
∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．
y=S△BDG-S△BFM
=BD•DG-BF•MN
=（x+4）2-x•x
=x2+4x+8；
（II）当2＜x≤6-时，如答图2所示：

过点M作MN⊥AB于点N，则△MNB为等腰直角三角形，MN=BN．
又∵NF==MN，BN=NF+BF，
∴NF+BF=MN，即MN+x=MN，解得：MN=x．
y=S△ABC-S△BFM
=AB•AC-BF•MN
=×62-x•x
=x2+18；
（III）当6-＜x≤6时，如答图3所示：

由BF=x，则AF=AB-BF=6-x，
设AC与EF交于点M，则AM=AF•tan60°=（6-x）．
y=S△AFM=AF•AM=（6-x）•（6-x）=x2-x+．
综上所述，y与x的函数解析式为：
y=．