Question

如图，反比例函数（k＞0）与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，OA=2，OC=4，连接OD、OE、DE．记△OAD、△OCE的面积分别为S₁、S₂．
（1）①点B坐标为______；②S₁______S₂（填“＞”、“＜”、“=”）；
（2）当点D为线段AB的中点时，求k的值及点E坐标；
（3）当S₁+S₂=2时，试判断△ODE的形状，并求△ODE的面积．

Answer

（1）根据OA=2，OC=4可直接得到点B坐标；②根据反比例函k的意义可知S1、S2都等于|k|，即可得到答案；
（2）当点D为AB中点时，AD=2，得出D的坐标是（2，2），求出解析式即可；
（3）根据当S1+S2=2时，由（1）得出S1=S2=1，进而得出BD，BE的长，进而得出DO2+DE2=OE2，△ODE是直角三角形，进而得出三角形面积．
【解析】
（1）①根据长方形OABC中，OA=2，OC=4，
则点B坐标为（4，2），
②∵反比例函数（k＞0）与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，
利用△OAD、△OCE的面积分别为S1=AD•AO，S2=•CO•EC，xy=k，得出，
S1=AD•AO=k，S2=•CO•EC=k，
∴S1=S2；

（2）当点D为AB中点时，AD=2，
∴D的坐标是（2，2），
把D（2，2）代入y=得：
k=2×2=4，
∴y=．
∵点B坐标为（4，2），
∴E点横坐标为：4，
∴4×y=4，
∴y=1，
∴E点坐标为：（4，1）；

（3）当S1+S2=2时，∵S1=S2，
∴S1=S2=1，
∵S1=AD•AO=AD×2=1，
∴AD=1，
∵S2=•CO•EC=×4×EC=1，
∴EC=，
∵OA=2，OC=4，
∴BD=4-1=3，
BE=2-=，
∴DO2=AO2+AD2=4+1=5，
DE2=DB2+BE2=9+=，
OE2=CO2+CE2=16+=，
∴DO2+DE2=OE2，
∴△ODE是直角三角形，
∵DO2=5，
∴DO=，
∵DE2=，
∴DE=，
∴△ODE的面积为：×DO×DE=××=．