Question

阅读下面材料，并解答问题．
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
【解析】
由分母为-x²+1，可设-x⁴-x²+3=（-x²+1）（x²+a）+b
则-x⁴-x²+3=（-x²+1）（x²+a）+b=-x⁴-ax²+x²+a+b=-x⁴-（a-1）x²+（a+b）
∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a=2，b=1
∴==x²+2+
这样，分式被拆分成了一个整式x²+2与一个分式的和．
解答：
（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
（2）试说明的最小值为8．

Answer

（1）由分母为-x2+1，可设-x4-6x2+8=（-x2+1）（x2+a）+b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；
（2）对于x2+7+当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，于是求出的最小值．
【解析】
（1）由分母为-x2+1，可设-x4-6x2+8=（-x2+1）（x2+a）+b
则-x4-6x2+8=（-x2+1）（x2+a）+b=-x4-ax2+x2+a+b=-x4-（a-1）x2+（a+b）
∵对应任意x，上述等式均成立，
∴，
∴a=7，b=1，
∴===x2+7+
这样，分式被拆分成了一个整式x2+7与一个分式的和．

（2）由=x2+7+知，
对于x2+7+，当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，
即的最小值为8．