Question

如图点A是⊙O外的一点，OA交⊙O于点C，已知⊙O 的半径是1，OA=2；点B是⊙O上的一点，且AB=，过点B作BD∥OA，交⊙O于点B．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）求阴影部分的面积．

Answer

（1）利用勾股定理推知∠ABO=90°，即AB⊥OB，易证得结论；
（2）S阴影=S扇形ODB+S△ABO-S△AOD．
（1）证明：∵⊙O的半径是1，OA=2，AB=，
∴OB2+AB2=OA2=4，
∴∠ABO=90°，即AB⊥OB，
又∵OB是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；

（2）由（1）知，∠ABO=90°．
∵OA=2OB，
∴∠OAB=30°，
∴∠BOA=60°．
又∵BD∥OA，
∴∠OBD=∠BOA=60°．
∵OD=OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠DOB=60°．
∴S阴影=S扇形ODB+S△ABO-S△AOD=+OB•AB-OD•OAsin∠AOD=+×1×-×1×2×=．即阴影部分的面积是．