Question

如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．
（1）证明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；
（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．

Answer

（1）根据等边对等角可得∠A=∠C，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，从而得到∠CPE=∠C，即可得证；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的长，再根据结果整理可得EM+FN=BH；
（3）分别求出EM、FN、BH，然后根据S△PCE，S△APF，S△ABC，再根据S=S△ABC-S△PCE-S△APF，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答．
（1）证明：∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵PE∥AB，
∴∠CPE=∠A，
∴∠CPE=∠C，
∴△PCE是等腰三角形；

（2）【解析】
∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，
∴CM=CP=，tanC=tanA=k，
∴EM=CM•tanC=•k=，
同理：FN=AN•tanA=•k=4k-，
由于BH=AH•tanA=×8•k=4k，
而EM+FN=+4k-=4k，
∴EM+FN=BH；

（3）【解析】
当k=4时，EM=2x，FN=16-2x，BH=16，
所以，S△PCE=x•2x=x2，S△APF=（8-x）•（16-2x）=（8-x）2，S△ABC=×8×16=64，
S=S△ABC-S△PCE-S△APF，
=64-x2-（8-x）2，
=-2x2+16x，
配方得，S=-2（x-4）2+32，
所以，当x=4时，S有最大值32．