Question

如图，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A，且经过点C．点P在线段AO上由A向点O运动，点Q在线段OC上由C向点O运动，QD⊥OC交BC于点D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E′是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？
（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为何值时，PB∥OD？

Answer

（1）根据顶点式将A，C代入解析式求出a的值，进而得出二次函数解析式；
（2）利用菱形的性质得出AO与EE′互相垂直平分，利用E点纵坐标得出x的值，进而得出BC，EO直线解析式，再利用两直线交点坐标求法得出Q点坐标，即可得出答案；
（3）首先得出△APB∽△QDO，进而得出=，求出m的值，进而得出答案．
【解析】
（1）∵A（0，2）为抛物线的顶点，
∴设y=ax2+2，
∵点C（3，0），在抛物线上，
∴9a+2=0，
解得：a=-，
∴抛物线为；y=-x2+2；

（2）如果四边形OEAE′是菱形，则AO与EE′互相垂直平分，
∴EE′经过AO的中点，
∴点E纵坐标为1，代入抛物线解析式得：
1=-x2+2，
解得：x=±，
∵点E在第一象限，
∴点E为（，1），
设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（1，2），C（3，0），代入得：
，
解得：，
∴BC的解析式为：y=-x+3，
将E点代入y=ax，可得出EO的解析式为：y=x，
由，
得：，
∴Q点坐标为：（，0），
∴当Q点坐标为（，0）时，四边形OEAE′是菱形；

（3）法一：设t为m秒时，PB∥DO，又QD∥y轴，则有∠APB=∠AOE=∠ODQ，
又∵∠BAP=∠DQO，则有△APB∽△QDO，
∴=，
由题意得：AB=1，AP=2m，QO=3-3m，
又∵点D在直线y=-x+3上，∴DQ=3m，
因此：=，解得：m=，
经检验：m=是原分式方程的解，
∴当t=秒时，PB∥OD．
法二：作BH⊥OC于H，则BH=AO=2，OH=AB=1，HC=OC-OH=2，
∴BH=HC，∴∠BCH=∠CBH=45°，
易知DQ=CQ，
设t为m秒时PB∥OE，则△ABP∽△QOD，
∴=，易知AP=2m，DQ=CQ=3m，QO=3-3m，
∴=，
解得m=，经检验m=是方程的解，
∴当t为秒时，PB∥OD．