Question

若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD中，BC=2AB，则称ABCD为方形．

（1）设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值（一组即可）．
（2）在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结线为一边作矩形，使这些矩形的边B₁C₁，B₂C₂，B₃C₃，B₄C₄的对边分别在B₂C₂，B₃C₃，B₄C₄，BC上，如图2所示．
①若BC=25，BC边上的高为20，判断以B₁C₁为一边的矩形是不是方形？为什么？
②若以B₃C₃为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．

Answer

（1）答案不唯一，根据已知举出即可；
（2）①求出△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，推出==，==，==，==，求出B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，MN=GN=GH=HE=4，B1Q=B2O=B3Z=B4K=4，根据已知判断即可；
②设AM=h，根据△ABC∽△AB3C3，得出==，求出MN=GN=GH=HE=h，分为两种情况：当B3C3=2×h，时，当B3C3=×h时，代入求出即可．
【解析】
（1）答案不唯一，如a=2，b=4；

（2）①以B1C1为一边的矩形不是方形．
理由是：过A作AM⊥BC于M，交B1C1于E，交B2C2于H，交B3C3于G，交B4C4于N，则AM⊥B4C4，AM⊥B3C3，AM⊥B2C2，AM⊥B1C1，
∵由矩形的性质得：BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥B4C4，
∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，
∴=，==，==，==，
∵AM=20，BC=25，
∴B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，
∴MN=GN=GH=HE=4，
∴B1Q=B2O=B3Z=B4K=4，
即B1C1≠2B1Q，B1Q≠2B1C1，
∴以B1C1为一边的矩形不是方形；
②∵以B3C3为一边的矩形为方形，设AM=h，
∴△ABC∽△AB3C3，
∴==，
则AG=h，
∴MN=GN=GH=HE=h，
当B3C3=2×h，时，=；
当B3C3=×h时，=．
综合上述：BC与BC边上的高之比是或．