Question

已知抛物线C₁的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C₁向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C₂．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m²（m＞0）．
（1）求抛物线C₁的解析式的一般形式；
（2）当m=2时，求h的值；
（3）若抛物线C₁的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C₂交于点F．求证：tan∠EDF-tan∠ECP=．

Answer

（1）设抛物线C1的顶点式形式y=a（x-1）2，（a≠0），然后把点（0，）代入求出a的值，再化为一般形式即可；
（2）先根据m的值求出直线AB与x轴的距离，从而得到点B、C的纵坐标，然后利用抛物线解析式求出点C的横坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点A的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，再把点A的坐标代入求出h的值即可；
（3）先把直线AB与x轴的距离是m2代入抛物线C1的解析式求出C的坐标，从而求出CE，再表示出点A的坐标，根据抛物线的对称性表示出ED，根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，把点A的坐标代入求出h的值，然后表示出EF，最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证．
（1）【解析】
设抛物线C1的顶点式形式y=a（x-1）2，（a≠0），
∵抛物线过点（0，），
∴a（0-1）2=，
解得a=，
∴抛物线C1的解析式为y=（x-1）2，
一般形式为y=x2-x+；

（2）【解析】
当m=2时，m2=4，
∵BC∥x轴，
∴点B、C的纵坐标为4，
∴（x-1）2=4，
解得x1=5，x2=-3，
∴点B（-3，4），C（5，4），
∵点A、C关于y轴对称，
∴点A的坐标为（-5，4），
设抛物线C2的解析式为y=（x-1）2-h，
则（-5-1）2-h=4，
解得h=5；

（3）证明：∵直线AB与x轴的距离是m2，
∴点B、C的纵坐标为m2，
∴（x-1）2=m2，
解得x1=1+2m，x2=1-2m，
∴点C的坐标为（1+2m，m2），
又∵抛物线C1的对称轴为直线x=1，
∴CE=1+2m-1=2m，
∵点A、C关于y轴对称，
∴点A的坐标为（-1-2m，m2），
∴AE=ED=1-（-1-2m）=2+2m，
设抛物线C2的解析式为y=（x-1）2-h，
则（-1-2m-1）2-h=m2，
解得h=2m+1，
∴EF=h+m2=m2+2m+1，
∴tan∠EDF-tan∠ECP=-=-=-=，
∴tan∠EDF-tan∠ECP=．