Question

如图，已知△ABC．
（1）根据要求画图：在图中找出点P，使点P到∠B两边的距离相等，且使PA=PC；
（2）连结PA、PC，如果∠ABC=60°，求∠APC．

Answer

（1）首先做AC的垂直平分线，再作∠B的角平分线，两线的交点就是P点；
（2）过点P作PM⊥AB，垂足为M；过点P作PN⊥BC，垂足为N，根据角平分线的性质可得PM=PN，根据线段垂直平分线的性质可得PA=PC，进而可证出Rt△AMP≌Rt△CNP，可得∠MPA=∠NPC．进而可证出∠APC=∠MPN，再根据四边形内角和即可得到答案．
【解析】
（1）如图所示：

（2）过点P作PM⊥AB，垂足为M；过点P作PN⊥BC，垂足为N．
∵BP平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥BC，
∴PM=PN，∠AMP=∠CNP=90°，
∵PH垂直平分AC，
∴AP=PC，
∵在Rt△AMP和Rt△CNP中，
，
∴Rt△AMP≌Rt△CNP（HL）．
∴∠MPA=∠NPC．
∴∠APC=∠NPC+∠APN=∠MPA+∠APN=∠MPN．
∵∠ABC=60°，∠AMP=∠CNP=90°，
∴∠APC=∠MPN=120°．