Question

如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S_△POC=4S_△BOC．求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

Answer

（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；
（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=-1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x-3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x-3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x-3，再设Q点坐标为（x，-x-3），则D点坐标为（x，x2+2x-3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．
【解析】
（1）∵对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，
∴A、B两点关于直线x=-1对称，
∵点A的坐标为（-3，0），
∴点B的坐标为（1，0）；

（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=-1，
∴=-1，解得b=2．
将B（1，0）代入y=x2+2x+c，
得1+2+c=0，解得c=-3．
则二次函数的解析式为y=x2+2x-3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，-3），OC=3．
设P点坐标为（x，x2+2x-3），
∵S△POC=4S△BOC，
∴×3×|x|=4××3×1，
∴|x|=4，x=±4．
当x=4时，x2+2x-3=16+8-3=21；
当x=-4时，x2+2x-3=16-8-3=5．
所以点P的坐标为（4，21）或（-4，5）；

②设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（-3，0），C（0，-3）代入，
得，解得，
即直线AC的解析式为y=-x-3．
设Q点坐标为（x，-x-3）（-3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x-3），
QD=（-x-3）-（x2+2x-3）=-x2-3x=-（x+）2+，
∴当x=-时，QD有最大值．