Question

已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．
（1）求△AED的周长；
（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△AED，当AD与BC重合时停止移动，设运动时间为t秒，△AED与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B₁，E的对应点为E₁，设直线B₁E₁与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q．是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）在Rt△ADE中，解直角三角形即可；
（2）在△AED向右平移的过程中：
（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为一个三角形；
（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；
（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为一个五边形．
（3）根据旋转和等腰三角形的性质进行探究，结论是：存在α（30°和75°），使△BPQ为等腰三角形．如答图4、答图5所示．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6．
在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，
∴AE=AD•cos30°=3，DE=AD•sin30°=3，
∴△AED的周长为：6+3+3=9+3．

（2）在△AED向右平移的过程中：
（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△DNK．

∵DD=2t，∴ND=DD•sin30°=t，NK=ND÷tan30°=t，
∴S=S△D0NK=ND•NK=t•t=t2；
（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形DEKN．

∵AA=2t，∴AB=AB-AA=12-2t，
∴AN=AB=6-t，NK=AN•tan30°=（6-t）．
∴S=S四边形D0E0KN=S△A0D0E0-S△A0NK=×3×3-×（6-t）×（6-t）=t2+t-；
（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形DIJKN．

∵AA=2t，∴AB=AB-AA=12-2t=DC，
∴AN=AB=6-t，DN=6-（6-t）=t，BN=AB•cos30°=（6-t）；
易知CI=BJ=AB=DC=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6，
S=S梯形BND0I-S△BKJ=[t+（2t-6）]•（6-t）-•（12-2t）•（12-2t）=t2+t-．
综上所述，S与t之间的函数关系式为：
S=．

（3）存在α，使△BPQ为等腰三角形．
理由如下：经探究，得△BPQ∽△B1QC，
故当△BPQ为等腰三角形时，△B1QC也为等腰三角形．
（I）当QB=QP时（如答图4），

则QB1=QC，∴∠B1CQ=∠B1=30°，
即∠BCB1=30°，
∴α=30°；
（II）当BQ=BP时，则B1Q=B1C，
若点Q在线段B1E1的延长线上时（如答图5），

∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=75°，
即∠BCB1=75°，
∴α=75°；
若点Q在线段E1B1的延长线上时（如答图6），

∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=15°，
即∠BCB1=180°-∠B1CQ=180°-15°=165°，
∴α=165°．
综上所述，存在α=30°，75°或165°，使△BPQ为等腰三角形．