Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+14k（k＞0）分别交x轴、y轴于A、B两点，过点B的直线交x轴正半轴于点C（7，0），且OB²=OA•OC．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点P为线段AB上一点（P不与A、B重合）．过点P作BC的平行线分别交x轴、y轴于D、E．设P点的横坐标为m，线段DE的长为d，求d与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，若△PEF与△ABC相似，求m的值．

Answer

（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，先根据题干条件求出A点和B点的坐标，然后根据两点坐标列出一个二元一次方程组，求出k和b的值；
（2）作PG∥AC交BC于点G，用m表示出P和G点的坐标，再证明四边形PGCD是平行四边形，用m表示出OD，结合DE=OD，列出d与m的函数关系式；
（3）作PH⊥BO，用m表示出PE的长，再利用△PFE∽△CBA或△PFE∽△CAB，列出比例等式，求出m的值即可．
【解析】
（1）∵直线y=kx+14k交x轴于A点，
∴A（-14，0），
又∵C（7，0），且OB2=OA•OC，
∴B点坐标为（0，7）
设直线AB的解析式为y=kx+b，
，
∴，
∴直线AB的解析式为y=x+7；

（2）方法（1）作PG∥AC交BC于点G，
∵P点的横坐标为m，
∴P（m，m+7），
P点、G点有相同的纵坐标，
∴G（-m，m+7），
∴PG=-m-m=-m，
∵PG∥AC，PE∥BC，
∴四边形PGCD是平行四边形，
①如图1，OD=CD-OC=-m-7，
又∵△DOE为等腰直角三角形，
∴DE=OD，
∴DE=-m-7（-14＜m＜-），
②如图2，OD=CD-OC=7+m，
∴DE=OD，
∴DE=m+7（-＜m＜0），
方法（2）作PM⊥AO，
∵OB=OC=7，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
又∵PE∥BC，
∴△DOE、△PMD都是等要直角三角形，
∵P点的横坐标为m，
∴P（m，m+7），
∴PM=MD=m+7，OM=-m，
①如图3，OD=OM-MD=-m-（m+7），
∴OD=-m-7，
又∵DE=OD，
∵DE=-m-7（-14＜m＜-），
②如图4，OD=OM-MD=m+7+m，OD=m+7，
∵DE=OD，
∴DE=m+7（-＜m＜0）；

（3）作PH⊥BO，
∵PE∥BC，
∴∠FPE=45°，
∴∠FPE=∠BCA=45°，
∴PE=-m，
①如图5，若△PFE∽△CBA，
∴=，
∴=，
解得m=-6，
②如图6，若△PFE∽△CAB，
∴=，
∴=，
解得m=-2，
综上所述，当m=-6或m=-2时，△PEF与△ABC相似．