Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，过点C作CC₁⊥AB于C₁，过点C₁作C₁C₂⊥AC于C₂，过点C₂作C₂C₃⊥AB于C₃…，按此作法进行下去，则=    （其中n≥2）．

Answer

先在△ABC中由勾股定理求出AB=，根据正弦函数的定义得出sinB===，然后依次在△BC1C、△C2C1C、△C3C2C1、△C4C3C2中，求出=sinB=；=sinB=；=sinB=；=sinB=；同理可得=sinB=．
【解析】
∵在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，
∴AB===，
∴sinB===．
在△BC1C中，∵∠BC1C=90°，
∴sinB==；
在△C2C1C中，∵∠C1C2C=90°，
∠C1CC2=90°-∠BCC1=∠B，
∴sin∠C1CC2=sinB==；
在△C3C2C1中，∵∠C2C3C1=90°，C1C2∥BC，
∴∠C3C1C2=∠B，
∴sin∠C3C1C2=sinB==；
在△C4C3C2中，∵∠C3C4C2=90°，
∠C4C2C3=90°-∠A=∠B，
∴sin∠C4C2C3=sinB==；
同理可得
=sinB=．
故答案为．