Question

已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．

（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．

Answer

（Ⅰ）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；
（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
（Ⅲ）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′A的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与m=，即可求得t的值．
【解析】
（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6，
在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t．
∵OP2=OB2+BP2，
即（2t）2=62+t2，
解得：t1=2，t2=-2（舍去）．
∴点P的坐标为（，6）．

（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，
∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，
∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，
∴∠OPB+∠QPC=90°，
∵∠BOP+∠OPB=90°，
∴∠BOP=∠CPQ．
又∵∠OBP=∠C=90°，
∴△OBP∽△PCQ，
∴，
由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11-t，CQ=6-m．
∴．
∴m=（0＜t＜11）．

（Ⅲ）过点P作PE⊥OA于E，
∴∠PEA=∠QAC′=90°，
∴∠PC′E+∠EPC′=90°，
∵∠PC′E+∠QC′A=90°，
∴∠EPC′=∠QC′A，
∴△PC′E∽△C′QA，
∴，
∵PC′=PC=11-t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6-m，
∴AC′==，
∴，
∴，
∴3（6-m）2=（3-m）（11-t）2，
∵m=，
∴3（-t2+t）2=（3-t2+t-6）（11-t）2，
∴t2（11-t）2=（-t2+t-3）（11-t）2，
∴t2=-t2+t-3，
∴3t2-22t+36=0，
解得：t1=，t2=，
点P的坐标为（，6）或（，6）．

法二：∵∠BPO=∠OPC′=∠POC′，
∴OC′=PC′=PC=11-t，
过点P作PE⊥OA于点E，
则PE=BO=6，OE=BP=t，
∴EC′=11-2t，
在Rt△PEC′中，PE2+EC′2=PC′2，
即（11-t）2=62+（11-2t）2，
解得：t1=，t2=．
点P的坐标为（，6）或（，6）．