Question

如图1，△ABC内接于半径为4cm的⊙O，AB为直径，长为．

（1）计算∠ABC的度数；
（2）将与△ABC全等的△FED如图2摆放，使两个三角形的对应边DF与AC有一部分重叠，△FED的最长边EF恰好经过的中点M．求证：AF=AB；
（3）设图2中以A、C、M为顶点的三角形面积为S，求出S的值．

Answer

（1）如图1，连结OC．利用弧长公式、等腰△OBC的性质来求∠ABC的度数；
（2）如图2，连结OM，过点F作FH⊥AB于点H．构建矩形OMFH．所以利用矩形的性质、30度角所对的直角边是斜边的一半推知，OM=FH=AB．所以AF=AB；
（3）如图2，连结AM、CM，过点M作MN⊥AC于点N，构造等腰直角△CMN．设MN=NC=x．在Rt△ABC中，利用特殊角的三角函数定义求得AC=4cm．在Rt△AMO中，根据勾股定理求得cm．在Rt△AMN中，利用勾股定理知AM2=AN2+MN2，据此可以列出关于x的方程，通过解方程可以求得x的值．最后根据三角形的面积公式来求S的值．
（1）【解析】
如图1，连结OC．
∵长为，⊙O的半径为4cm
∴，
∴n=60，即∠BOC=60°．
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠OBC=；

（2）证明：如图2，连结OM，过点F作FH⊥AB于点H．
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°-60°=30°．
∴在Rt△FAH中，
∵点M为的中点，
∴OM⊥AB且OM=AB，
∴OM∥FH．
∵△ABC与△FED全等，
∴∠A=∠EFD=30°，
∴EF∥AB，
∴四边形MFOH是矩形，
∴OM=FH=AB
∴AF=AB；

（3）如图2，连结AM、CM，过点M作MN⊥AC于点N．
在Rt△ABC中，AB=8cm，∠A=30°，
∴AC=4cm．
在Rt△AMO中，cm．
设MN=x，∵点M是的中点，
∴∠MCN=∠AOM=45°，
∴MN=NC=x．
在Rt△AMN中，AM2=AN2+MN2，即，
解得，（舍去）
∴
∴．