Question

已知关于x的二次函数y=x²-2mx+m²+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）；（x₁＜x₂）
（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；
（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．
（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．
（平面内两点间的距离公式）．

Answer

（1）先将k=1，m=0分别代入，得出二次函数的解析式为y=x2，直线的解析式为y=x+1，联立，得x2-x-1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=1，x1•x2=-1，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C，证明△ABC是等腰直角三角形，根据勾股定理得出AB=AC，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB=；同理，当k=1，m=1时，AB=；
（2）当k=1，m为任何值时，联立，得x2-（2m+1）x+m2+m-1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=2m+1，x1•x2=m2+m-1，同（1）可求出AB=；
（3）当m=0，k为任意常数时，分三种情况讨论：①当k=0时，由，得A（-1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；②当k=1时，联立，得x2-x-1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=1，x1•x2=-1，同（1）求出AB=，则AB2=10，运用两点间的距离公式及完全平方公式求出OA2+OB2=10，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形；③当k为任意实数时，联立，得x2-kx-1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=k，x1•x2=-1，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB2=k4+5k2+4，OA2+OB2═k4+5k2+4，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形．
【解析】
（1）当k=1，m=0时，如图．
由得x2-x-1=0，
∴x1+x2=1，x1•x2=-1，
过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．
∵直线AB的解析式为y=x+1，
∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=|x2-x1|==；
同理，当k=1，m=1时，AB=；

（2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=．理由如下：
由，得x2-（2m+1）x+m2+m-1=0，
∴x1+x2=2m+1，x1•x2=m2+m-1，
∴AB=AC=|x2-x1|==；

（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：
①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，
由，得A（-1，1），B（1，1），
显然△AOB为直角三角形；
②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，
由，得x2-x-1=0，
∴x1+x2=1，x1•x2=-1，
∴AB=AC=|x2-x1|==，
∴AB2=10，
∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22
=x12+x22+y12+y22
=x12+x22+（x1+1）2+（x2+1）2
=x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）
=2（x12+x22）+2（x1+x2）+2
=2（1+2）+2×1+2
=10，
∴AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形；
③当k为任意实数，△AOB仍为直角三角形．
由，得x2-kx-1=0，
∴x1+x2=k，x1•x2=-1，
∴AB2=（x1-x2）2+（y1-y2）2
=（x1-x2）2+（kx1-kx2）2
=（1+k2）（x1-x2）2
=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1•x2]
=（1+k2）（4+k2）
=k4+5k2+4，
∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22
=x12+x22+y12+y22
=x12+x22+（kx1+1）2+（kx2+1）2
=x12+x22+（k2x12+2kx1+1）+（k2x22+2kx2+1）
=（1+k2）（x12+x22）+2k（x1+x2）+2
=（1+k2）（k2+2）+2k•k+2
=k4+5k2+4，
∴AB2=OA2+OB2，
∴△AOB为直角三角形．