Question

已知关于x的方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
（2）若关于x的二次函数y=mx²-（3m+2）x+2m+2的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为整数，求抛物线的解析式．

Answer

（1）因为方程的类型不确定，所以要分两种情况讨论：当m=0时和m≠0时分别证明即可；
（2）令y=0，则mx2-（3m+2）x+2m+2=0，则可求出方程的解，即与x轴交点的横坐标，再根据已知条件即可求出m的值，进而求出抛物线的解析式．
（1）证明：
①当m=0时，方程为-2x+2=0，所以x=1，方程有实数根；
②当m≠0时，△=[-（3m+2）]2-4m（2m+2）
=9m2+12m+4-8m2-8m
=m2+4m+4
=（m+2）2≥0，
所以，方程有实数根．
综①②所述，无论m取任何实数时，方程恒有实数根；

（2）【解析】
令y=0，则mx2-（3m+2）x+2m+2=0，
解关于x的一元二次方程，得x1=1，x2=2+，
二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为正整数，且m为整数，
所以m只能取1，2，
所以抛物线的解析式为y=x2-5x+4或y=2x2-8x+6．