Question

在▱ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知∠A=60°；
（1）若BC=8，AB=6，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．
（2）试探究当△CPE≌△CPB时，▱ABCD的两边AB与BC应满足什么关系？

Answer

（1）延长PE交CD的延长线于F，设AP=x，△CPE的面积为y，由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到AB=DC，AD=BC，在直角三角形APE中，根据∠A的度数求出∠PEA的度数为30度，利用直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半表示出AE与PE，由AD-AE表示出DE，再利用对顶角相等得到∠DEF为30度，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出DF，由两直线平行内错角相等得到∠F为直角，表示出三角形CPE的面积，得出y与x的函数解析式，利用二次函数的性质即可得到三角形CPE面积的最大值，以及此时AP的长；
（2）由△CPE≌△CPB，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到BC=CE，∠B=∠PEC=120°，进而得出∠ECD=∠CED，利用等角对等边得到ED=CD，即三角形ECD为等腰三角形，过D作DM垂直于CE，∠ECD=30°，利用锐角三角形函数定义表示出cos30°，得出CM与CD的关系，进而得出CE与CD的关系，即可确定出AB与BC满足的关系．
【解析】
（1）延长PE交CD的延长线于F，
设AP=x，△CPE的面积为y，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=DC=6，AD=BC=8，
∵Rt△APE，∠A=60°，
∴∠PEA=30°，
∴AE=2x，PE=x，
在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD-AE=8-2x，
∴DF=DE=4-x，
∵AB∥CD，PF⊥AB，
∴PF⊥CD，
∴S△CPE=PE•CF，
即y=×x×（10-x）=-x2+5x，
配方得：y=-（x-5）2+，
当x=5时，y有最大值，
即AP的长为5时，△CPE的面积最大，最大面积是；

（2）当△CPE≌△CPB时，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°，
∴∠CED=180°-∠AEP-∠PEC=30°，
∵∠ADC=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°-120°-30°=30°，
∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形，
过D作DM⊥CE于M，则CM=CE，
在Rt△CMD中，∠ECD=30°，
∴cos30°==，
∴CM=CD，
∴CE=CD，
∵BC=CE，AB=CD，
∴BC=AB，
则当△CPE≌△CPB时，BC与AB满足的关系为BC=AB．