Question

已知：BD为△ABC边AC上的高，E为BC上一点，CE=2BE，∠CAE=30°，若EF=3，BF=4，则AF的长为    ．

Answer

过E作EM⊥BD于M，求出∠DFA=60°=∠EFM，求出∠MEF，根据EF=3，求出EM、FM，求出BM，根据勾股定理求出BE、求出BC，根据cos∠CBD求出DB，求出FD，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
【解析】
过E作EM⊥BD于M，则∠BME=∠FME=90°，
∵∠CAE=30°，∠BDA=90°，
∴∠AFD=60°=∠EFM，
∴∠MEF=30°，
∵EF=3，
∴MF=，
由勾股定理得：EM=，
∵BF=4，
∴BM=4-=，
在△BEM中，由勾股定理得：BE==，
∵CE=2BE，
∴BC=3，
∵cos∠CBD===，
∴=，
BD=，
∴DF=BD-BF=-4=，
∵∠FDA=90°，∠FAD=30°，
∴AF=2DF=7．
故答案为：7．