Question

在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点M的坐标为（4，3），以M为圆心，以M0为半径作⊙M，分别交x轴、y轴于B、A两点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点P（x，0）为x轴正半轴上一点，过点P作x轴的垂线，分别交直线AB、线段OM于点D、E，过点E作y轴的垂线交直线AB于点F．设线段DF的长为y（y＞0），求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在x的值，使得经过D、E、M三点的圆与△AOB三边中某一边所在的直线相切？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）首先求出A，B坐标，进而利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）利用OP=x，得出PE=，p（x，）即可得出DE的长，再利用tan∠AFE=tan∠ABO，得出DF与DE关系求出即可；
（3）分别根据①当⊙G与y轴相切时以及②当⊙G与x轴相切时，③利用∠GTD=90°，则DG＞GT，得出⊙G始终与直线AB相交，即可得出符合要求的答案．
【解析】
（1）过点M作MH⊥x轴于点H，过点M作MK⊥y轴于点K．
则OB=2OH，OA=2OK
∵M（4，3），
∴OB=8，OA=6，
∴B（8，0），A（6，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y=，

（2）∵M（4，3），
∴tan∠MOH==，
∵OP=x，
∴PE=，p（x，）
∴DE=PD-PE=-=，
∵EF∥OB，
∴∠OBA=∠AFE，
∴tan∠AFE=tan∠ABO=，
∴DF=），
∴y=（0＜x＜4）；

（3）∵∠MDE=∠MED，∴△DEM是等腰三角形，设△DEM在外接圆圆心为G，
过点M作MQ⊥DE于点Q，则此圆的圆心G一定在MQ上．
①当⊙G与y轴相切时，
如图1，则⊙G的半径GM=GD=2，过G作GT⊥AB于T，
可求DM=，QM=4-x
cos∠DMQ==，
解得：x=，
②当⊙G与x轴相切时，
如图2，则⊙G的半径GM=GD=，过G作GT′⊥AB于T′，
可求DM=，QM=4-x
cos∠DMQ==，
解得：x=，
③∵∠GTD=90°，
∴DG＞GT，
∴⊙G始终与直线AB相交．
综上所述：当x=或x=时，过D、E、M三点的圆与△AOB的一边所在的直线相切．