Question

如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A₁；AD的中点E的对应点记为E₁，若△E₁FA₁∽△E₁BF，则AD=    ．

Answer

利用勾股定理列式求出AC，设AD=2x，得到AE=DE=DE1=A1E1=x，然后求出BE1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E1F，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，从而可得AD的值．
【解析】
∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC===8，
设AD=2x，
∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1，
∴AE=DE=DE1=A1E1=x，
∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AFD，
∴=，
即=，
解得DF=x，
在Rt△DE1F中，E1F===，
又∵BE1=AB-AE1=10-3x，△E1FA1∽△E1BF，
∴=，
∴E1F2=A1E1•BE1，
即（）2=x（10-3x），
解得x=，
∴AD的长为2×=．
故答案为：．