Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2，）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；
（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用交点式、待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先求出点C坐标，确定CD∥OB；由题意，直线l平分四边形OBDC的面积，则S梯形OEFC=S梯形FDBE，据此列方程求出k的值；
（3）首先求出平移变换后的抛物线解析式，如答图2所示，然后证明Rt△PMD∽Rt△PNE，由相似三角形比例线段关系得到式①：，化简之后变为式②：（t+2）（xm+xn）=2kxmxn；最后利用一元二次方程根与系数的关系求出t的值．
【解析】
（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A（-1，0），B（3，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
∵点D（2，）在抛物线上，
∴=a×3×（-1），解得a=，
∴抛物线解析式为：y=（x+1）（x-3）=x2+x+．

（2）抛物线解析式为：y=x2+x+，令x=0，得y=，∴C（0，），
∵D（2，），∴CD∥OB，直线CD解析式为y=．
直线l解析式为y=kx-2，令y=0，得x=；令y=，得x=；
如答图1所示，设直线l分别与OB、CD交于点E、F，则E（，0），F（，），
OE=，BE=3-，CF=，DF=2-．
∵直线l平分四边形OBDC的面积，
∴S梯形OEFC=S梯形FDBE，
∴（OE+CF）•OC=（FD+BE）•OC，
∴OE+CF=FD+BE，即：+=（3-）+（2-），
解方程得：k=，经检验k=是原方程的解且符合题意，
∴k=．

（3）假设存在符合题意的点P，其坐标为（0，t）．
抛物线解析式为：y=x2+x+=（x-1）2+2，
把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为：y=x2．
依题意画出图形，如答图2所示，过点M作MD⊥y轴于点D，NE⊥y轴于点E，
设M（xm，ym），N（xn，yn），则MD=-xm，PD=t-ym；NE=xn，PE=t-yn．
∵直线PM与PN关于y轴对称，∴∠MPD=∠NPE，
又∠MDP=∠NEP=90°，
∴Rt△PMD∽Rt△PNE，
∴，即 ①，
∵点M、N在直线y=kx-2上，∴ym=kxm-2，yn=kxn-2，
代入①式化简得：（t+2）（xm+xn）=2kxmxn  ②
把y=kx-2代入y=x2．，整理得：x2+2kx-4=0，
∴xm+xn=-2k，xmxn=-4，代入②式解得：t=2，符合条件．
所以在y轴正半轴上存在一个定点P（0，2），使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称．