Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

根据勾股定理求得AB=5cm．
（1）分类讨论：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况．利用相似三角形的对应边成比例来求t的值；
（2）如图，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；然后根据“S=S△ABC-S△BPH”列出S与t的关系式S=（t-）2+（0＜t＜2.5），则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值．
【解析】
∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．
∴根据勾股定理，得=5cm．
（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
①当△AMP∽△ABC时，=，即=，
解得t=；
②当△APM∽△ABC时，=，即=，
解得t=0（不合题意，舍去）；
综上所述，当t=时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；

（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：
假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．
如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC，
∴=，即=，
∴PH=t，
∴S=S△ABC-S△BPN，
=×3×4-×（3-t）•t，
=（t-）2+（0＜t＜2.5）．
∵＞0，
∴S有最小值．
当t=时，S最小值=．
答：当t=时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是．