Question

如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=5，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AMNP，直线MN分别与边BC、CD交于点E、F．
（1）判断BE与ME的数量关系，并加以证明；
（2）当△CEF是等腰三角形时，求线段BE的长；
（3）设x=BE，y=CF•（AB²-BE²），试求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．

Answer

（1）根据旋转的性质可得AB=AM，然后利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△AME全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）先判定等腰△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠CEF=45°，延长AM交BC于G，然后求出△MEG和△ABG都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质AB=BG，EG=EM，再根据全等三角形对应边相等可得BE=EM，然后列出方程求解即可；
（3）求出△ABG、△ECF、△EMG三个三角形相似，再根据△ABG∽△ECF利用相似三角形对应边成比例列式用EG表示出CF，根据△ECF∽△EMG利用相似三角形对应边成比例用EF表示出EG，然后根据勾股定理列式表示出EF，然后整理得到关于CF的一元二次方程，求解得到CF的表达式，再代入等式整理即可得到y与x的关系式，再根据CF的长求出x的取值范围，然后根据二次函数的最值问题解答．
【解析】
（1）BE=ME．
∵矩形ABCD旋转得到矩形AMNP，
∴AB=AM，∠AMM=∠B=90°，
∴∠AME=180°-90°=90°，
在Rt△ABE和Rt△AME中，，
∴Rt△ABE≌Rt△AME（HL），
∴BE=ME；

（2）∵△CEF是等腰三角形，∠C=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
延长AM交BC于G，则△MEG和△ABG都是等腰直角三角形，
又∵Rt△ABE≌Rt△AME，
∴BE=ME，
在△ABG中，AB=BG=4，
在△EMG中，EG=ME=BE，
∴BG=BE+EG=BE+BE=4，
∴BE==4-4，
即BE=4-4；

（3）∵∠AGB=∠EGM，∠B=∠EMG=90°，
∴△ABG∽△EMG，
∵∠MEG=∠CEF，∠C=∠EMG=90°，
∴△EMG∽△ECF，
∴△ABG∽△ECF∽△EMG，
由△ABG∽△ECF得，=，
即=，
整理得，CF=，
由△ECF∽△EMG得，=，
即=，
整理得，EG=，
在Rt△CEF中，EF==，
∴CF=，
∴4CF=5x-x2+x，
解得CF=，
又∵AB2-BE2=16-x2，
∴y=×（16-x2）=-8x2+40x，
∵CF=≤4，
整理得，x2-10x+16≥0，
解得x≤2或x≥8（舍去），
∴0＜x≤2，
∵y=-8x2+40x的对称轴为直线x=-=，
∴当x=2时，抛物线有最大值，ymax=-8×22+40×2=48．