Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD=CD，AB＜CD且∠ABC为锐角，若AD=4，BC=12，E为BC上一点，问：当CE分别为何值时，四边形ABED是等腰梯形，直角梯形？请分别说明理由．

Answer

在BC上截取CE=AD，连接DE、AE，根据已知判定四边形ABED是梯形，再利用全等三角形的判定得到AB=DE，从而得到四边形ABDE是等腰梯形；
在BC上找一点E′，使CE′=BE′=BC=6，连接DE′．由已知BD=DC，得到DE′⊥BC，因为BE′≠AD，AD∥BE′，得出AB不平行于DE′，所以四边形ABE′D是直角梯形．
【解析】
（1）当CE=4时，四边形ABDE是等腰梯形．（1分）
理由如下：在BC上截取CE=AD，连接DE、AE．
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，（2分）
∴AE=CD=BD；
∵BE=12-4=8＞4，
即BE＞AD，
∴四边形ABED不是平行四边形，
∴AB不平行于DE；
∴四边形ABED是梯形．（3分）
∵AE∥CD，CD=BD，
∴∠AEB=∠C=∠DBC；
在△ABE和△DEB中
∴△ABE≌△DEB（SAS）；
∴AB=DE；
∴四边形ABDE是等腰梯形．（5分）

（2）当CE′=6时，四边形ABE′D是直角梯形．（6分）
理由如下：在BC上找一点E′，使CE′=BE′=BC=6，连接DE′．
∵BD=CD，
∴DE′⊥BC．
又∵BE′≠AD，AD∥BE′，
∴AB不平行于DE′（7分）
∴四边形ABE′D是直角梯形．（8分）