Question

如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线：
（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半径r．

Answer

（1）连接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）OD=r，OF=8-r，在Rt△DOF中根据勾股定理得出方程r2+（8-r）2=（）2，求出即可．
（1）证明：
连接OA、OD，
∵D为弧BE的中点，
∴OD⊥BC，
∠DOF=90°，
∴∠D+∠OFD=90°，
∵AC=AF，OA=OD，
∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，
∵∠CFA=∠OFD，
∴∠OAD+∠CAF=90°，
∴OA⊥AC，
∵OA为半径，
∴AC是⊙O切线；

（2）【解析】
∵⊙O半径是r，
当F在半径OE上时，
∴OD=r，OF=8-r，
在Rt△DOF中，r2+（8-r）2=（）2，
r=6，r=2（舍）；
当F在半径OB上时，
∴OD=r，OF=r-8，
在Rt△DOF中，r2+（r-8）2=（）2，
解得：r=6或r=2（舍）；
即⊙O的半径r为6．