Question

某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y₁（元）与国内销售量x（千件）的关系为：
y₁=
若在国外销售，平均每件产品的利润y₂（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为
y₂=
（1）用x的代数式表示t为：t=______；当0＜x≤4时，y₂与x的函数关系为：y₂=______；当______＜x＜______时，y₂=100；
（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；
（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？

Answer

（1）由该公司的年产量为6千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6千件，即x+t=6，变形即为t=6-x；
根据平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系及t=6-x即可求出y2与x的函数关系：当0＜x≤4时，y2=5x+80；当4≤x＜6时，y2=100；
（2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：①0＜x≤2；②2＜x≤4；③4＜x＜6；
（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可．
【解析】
（1）由题意，得x+t=6，
∴t=6-x；
∵，
∴当0＜x≤4时，2≤6-x＜6，即2≤t＜6，
此时y2与x的函数关系为：y2=-5（6-x）+110=5x+80；
当4≤x＜6时，0≤6-x＜2，即0≤t＜2，
此时y2=100．
故答案为6-x；5x+80；4，6；

（2）分三种情况：
①当0＜x≤2时，w=（15x+90）x+（5x+80）（6-x）=10x2+40x+480；
②当2＜x≤4时，w=（-5x+130）x+（5x+80）（6-x）=-10x2+80x+480；
③当4＜x＜6时，w=（-5x+130）x+100（6-x）=-5x2+30x+600；
综上可知，w=；

（3）当0＜x≤2时，w=10x2+40x+480=10（x+2）2+440，此时x=2时，w最大=600；
当2＜x≤4时，w=-10x2+80x+480=-10（x-4）2+640，此时x=4时，w最大=640；
当4＜x＜6时，w=-5x2+30x+600=-5（x-3）2+645，4＜x＜6时，w＜640；
∴x=4时，w最大=640．
故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为64万元．